专升本数学严选800题

强化部分 · 多元函数微分学与积分学、曲线积分、无穷级数

一、多元函数微分学

  1. 设 $z=e^x+y^2+f(y-x)$，其中 $f$ 可导，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=$（ ）
    A. $e^x+f'(y-x)$ B. $e^x-f'(y-x)$ C. $e^x+2y+f'(y-x)$ D. $e^x+2y-f'(y-x)$
    答案：B
    解析：$\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(e^x) + \dfrac{\partial}{\partial x}(y^2) + \dfrac{\partial}{\partial x}f(y-x)$。
    $= e^x + 0 + f'(y-x) \cdot (-1) = e^x - f'(y-x)$。
  2. 设 $f(x,y)=\dfrac{x^3+\sin y}{2e^{xy}+xy}$，则 $f_x'(1,0)=$（ ）
    A. $0$ B. $1$ C. $\dfrac{1}{2}$ D. $\dfrac{3}{2}$
    答案：D
    解析：先求 $f(x,0) = \dfrac{x^3}{2}$（因为 $\sin 0 = 0$，$e^0 = 1$，$xy=0$）。
    所以 $f_x'(x,0) = \dfrac{3x^2}{2}$。
    因此 $f_x'(1,0) = \dfrac{3}{2}$。
  3. 设 $z=\arctan(xy^2)$，则 $\left.\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}\right|_{(0,1)}=$（ ）
    A. $0$ B. $1$ C. $2$ D. $3$
    答案：C
    解析：先求 $\dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{y^2}{1+(xy^2)^2} = \dfrac{y^2}{1+x^2y^4}$。
    再求 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \dfrac{2y(1+x^2y^4) - y^2 \cdot 4x^2y^3}{(1+x^2y^4)^2} = \dfrac{2y+2x^2y^5-4x^2y^5}{(1+x^2y^4)^2} = \dfrac{2y-2x^2y^5}{(1+x^2y^4)^2}$。
    代入 $(0,1)$：$= \dfrac{2 \cdot 1 - 0}{(1+0)^2} = 2$。
  4. 设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $(z+y)^x = xy$ 确定，则 $\left.\dfrac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=$（ ）
    A. $2$ B. $1$ C. $1-\ln 2$ D. $2(1-\ln 2)$
    答案：D
    解析：当 $x=1, y=2$ 时，$(z+2)^1 = 2$，所以 $z=0$。
    对方程取对数：$x\ln(z+y) = \ln x + \ln y$。
    对 $x$ 求偏导：$\ln(z+y) + x \cdot \dfrac{1}{z+y} \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{1}{x}$。
    代入 $(1,2,0)$：$\ln 2 + 1 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\partial z}{\partial x} = 1$。
    解得 $\dfrac{\partial z}{\partial x} = 2(1-\ln 2)$。
  5. 设 $z=xf(\cos x, y^2)$，其中 $f$ 可导，则 $\dfrac{\partial z}{\partial x}=$（ ）
    A. $f(\cos x, y^2) + x\cos x \cdot f_1'$ B. $f(\cos x, y^2) + x\sin x \cdot f_1'$ C. $f(\cos x, y^2) - x\sin x \cdot f_1'$ D. $f(\cos x, y^2) - x\cos x \cdot f_1'$
    答案：C
    解析：用乘积法则和链式法则。
    $\dfrac{\partial z}{\partial x} = f(\cos x, y^2) + x \cdot \left[f_1' \cdot (-\sin x) + f_2' \cdot 0\right]$。
    $= f(\cos x, y^2) - x\sin x \cdot f_1'$。
  6. 设函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz = xdx + ydy$，则点 $(0,0)$（ ）
    A. 不是 $f(x,y)$ 的连续点 B. 不是 $f(x,y)$ 的极值点 C. 是 $f(x,y)$ 的极大值点 D. 是 $f(x,y)$ 的极小值点
    答案：D
    解析：由 $dz = xdx + ydy$，得 $\dfrac{\partial z}{\partial x} = x$，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = y$。
    在 $(0,0)$ 处，$\dfrac{\partial z}{\partial x} = 0$，$\dfrac{\partial z}{\partial y} = 0$，所以是驻点。
    二阶偏导：$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 1$，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 1$，$\dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0$。
    判别式 $AC-B^2 = 1 \cdot 1 - 0 = 1 > 0$，且 $A=1>0$。
    所以 $(0,0)$ 是极小值点。
    （也可直接积分得 $z = \dfrac{x^2+y^2}{2} + C$，显然在 $(0,0)$ 取极小值）

二、二重积分

  1. 设区域 $D$ 由 $x^2+y^2 \leq 1$ 围成，则 $\displaystyle\iint_D [xy(x+y)+1]d\sigma=$（ ）
    A. $0$ B. $1$ C. $\pi$ D. $\dfrac{\pi}{2}$
    答案：C
    解析：拆分为 $\displaystyle\iint_D xy(x+y)d\sigma + \iint_D 1 \cdot d\sigma$。
    第一项：$xy(x+y) = x^2y + xy^2$。
    区域 $D$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称。
    $x^2y$ 关于 $y$ 是奇函数，积分为0；$xy^2$ 关于 $x$ 是奇函数，积分为0。
    所以第一项等于0。
    第二项：$\displaystyle\iint_D d\sigma = \pi \cdot 1^2 = \pi$。
    因此原式 $= \pi$。
  2. 设区域 $D$ 由直线 $y=x$，$y=-x$ 及 $x=2$ 围成，则 $\displaystyle\iint_D (x^2\sin y + 1)d\sigma=$（ ）
    A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$
    答案：D
    解析：区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称（因为 $y=x$ 和 $y=-x$ 关于 $x$ 轴对称）。
    $x^2\sin y$ 关于 $y$ 是奇函数，所以 $\displaystyle\iint_D x^2\sin y \, d\sigma = 0$。
    原式 $= \displaystyle\iint_D 1 \, d\sigma = $ 区域 $D$ 的面积。
    区域 $D$ 是三角形，顶点为 $(0,0)$，$(2,2)$，$(2,-2)$。
    面积 $= \dfrac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$。
  3. 设 $D$ 是由 $x+y=1$，$x$ 轴及 $y$ 轴围成的区域，且 $I_1=\displaystyle\iint_D \sin(x+y)dxdy$，$I_2=\displaystyle\iint_D (x+y)dxdy$，$I_3=\displaystyle\iint_D \tan(x+y)dxdy$，则（ ）
    A. $I_1 < I_2 < I_3$ B. $I_3 < I_2 < I_1$ C. $I_1 < I_3 < I_2$ D. $I_2 < I_1 < I_3$
    答案：A
    解析：在区域 $D$ 中，$0 \leq x+y \leq 1 < \dfrac{\pi}{2}$。
    当 $0 < t < \dfrac{\pi}{2}$ 时，有 $\sin t < t < \tan t$。
    因此 $\sin(x+y) < x+y < \tan(x+y)$。
    积分得 $I_1 < I_2 < I_3$。
  4. 设 $D$ 是 $|x|+|y| \leq 1$ 围成，则 $\displaystyle\iint_D [|xy|+\sin(xy^2)]d\sigma=$（ ）
    A. $\dfrac{1}{2}$ B. $\dfrac{1}{4}$ C. $\dfrac{1}{6}$ D. $\dfrac{1}{8}$
    答案：C
    解析：区域 $D$（正方形）关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称。
    $\sin(xy^2)$ 关于 $x$ 是奇函数，所以 $\displaystyle\iint_D \sin(xy^2)d\sigma = 0$。
    原式 $= \displaystyle\iint_D |xy|d\sigma = 4\iint_{D_1} xy \, d\sigma$，其中 $D_1$ 是第一象限部分。
    $D_1$：$0 \leq x \leq 1$，$0 \leq y \leq 1-x$。
    $= 4\displaystyle\int_0^1 dx \int_0^{1-x} xy \, dy = 4\int_0^1 x \cdot \dfrac{(1-x)^2}{2}dx = 2\int_0^1 x(1-x)^2dx$。
    $= 2\displaystyle\int_0^1 (x-2x^2+x^3)dx = 2\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{x^4}{4}\right]_0^1 = 2\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{4}\right) = 2 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{6}$。
  5. 设区域 $D$ 是由 $x^2+y^2=4\pi^2$ 和 $x^2+y^2=\pi^2$ 所围成的区域，则 $\displaystyle\iint_D \dfrac{e^{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}d\sigma=$（ ）
    A. $e^{\pi}$ B. $e^{2\pi}-e^{\pi}$ C. $\pi(e^{2\pi}-e^{\pi})$ D. $2\pi(e^{2\pi}-e^{\pi})$
    答案：D
    解析：用极坐标，$D$ 为圆环：$\pi \leq r \leq 2\pi$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。
    原式 $= \displaystyle\int_0^{2\pi} d\theta \int_{\pi}^{2\pi} \dfrac{e^r}{r} \cdot r \, dr = 2\pi \int_{\pi}^{2\pi} e^r dr$。
    $= 2\pi [e^r]_{\pi}^{2\pi} = 2\pi(e^{2\pi}-e^{\pi})$。

三、曲线积分

  1. 设 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$，则曲线积分 $\displaystyle\oint_L (x+y^2)dy - (x^3+y)dx=$（ ）
    A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $3\pi$ D. $4\pi$
    答案：D
    解析：用格林公式。设 $P = -(x^3+y)$，$Q = x+y^2$。
    $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = 1$，$\dfrac{\partial P}{\partial y} = -1$。
    原式 $= \displaystyle\iint_D \left(\dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma = \iint_D (1-(-1))d\sigma = 2\iint_D d\sigma$。
    $= 2 \times \pi \times 2 = 4\pi$。
  2. 设曲线积分 $\displaystyle\oint_L (xe^{-x^2}+x^2y+ay^2)dx - (bx^3+xy)dy$ 与积分路径无关，则 $ab=$（ ）
    A. $\dfrac{1}{4}$ B. $4$ C. $\dfrac{1}{6}$ D. $6$
    答案：C
    解析：设 $P = xe^{-x^2}+x^2y+ay^2$，$Q = -(bx^3+xy) = -bx^3-xy$。
    积分与路径无关的条件：$\dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x}$。
    $\dfrac{\partial P}{\partial y} = x^2 + 2ay$。
    $\dfrac{\partial Q}{\partial x} = -3bx^2 - y$。
    比较系数：$x^2$ 项：$1 = -3b$，得 $b = -\dfrac{1}{3}$。
    $y$ 项：$2a = -1$，得 $a = -\dfrac{1}{2}$。
    所以 $ab = \left(-\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{1}{6}$。

四、无穷级数

  1. 下列说法中正确的是（ ）
    A. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛 B. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n})$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 C. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛 D. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n$ 收敛
    答案：A
    解析：A正确：$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(u_{2n-1}+u_{2n}) = (u_1+u_2)+(u_3+u_4)+\cdots$ 是原级数的加括号形式，收敛级数加括号仍收敛。
    B错误：加括号收敛不能推出原级数收敛，如 $u_n = (-1)^n$。
    C错误：如 $u_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 收敛，但 $u_n^2 = \dfrac{1}{n}$ 发散。
    D错误：如 $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ 收敛，但 $(-1)^n u_n = \dfrac{1}{n}$ 发散。
  2. 下列说法中错误的是（ ）
    A. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 B. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_{n+100}$ 收敛 C. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 发散，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散 D. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n$ 收敛
    答案：C
    解析：A正确：绝对收敛则收敛。
    B正确：去掉有限项不改变敛散性。
    C错误：绝对值发散，原级数可能条件收敛，如 $u_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$。
    D正确：若 $\displaystyle\sum|u_n|$ 收敛，则 $|(-1)^n u_n| = |u_n|$，所以 $\displaystyle\sum(-1)^n u_n$ 绝对收敛。